多元函数微分学1

发布时间:2021-09-18 11:31:14

第7章 多元函数微分学 7.1 多元函数的概念 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 多元复合函数与隐函数微分法 7.5 多元函数极值与最值 7.6 偏导数在经济学中的应用 结束 第7章 多元函数微分学 7.1.1 空间解析几何简介 空间 一维:只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度. AB CD E 二维:有两个独立的、 相互垂直的运动方向, 称为两个自由度. 坐标系 前页 后页 结束 一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 过空间定点 O,作三条互相垂 直的数轴,他们都以 O 为原点 且一般具有相同的长度单位。 这三条轴分别称为 x轴, z y轴, 轴,统称坐标轴。通 x 常把 x 轴和 y 轴配置在水* 面上,z 轴在铅垂方向,他们 的指向符合右手法则. z o y 前页 后页 结束 三条坐标轴中任意两条可以确定一个*面,这样 定出的三个*面统称为坐标*面,分别是 xOy面 yOz面 zOx面 三个坐标*面 把空间分成八 个部分,称为八 个卦限. z 4 8x 37 1 5 2 6 y 前页 后页 结束 取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组(x, y, z) 之间的一一对应关系。 空 间 任 意 一 点 M, 过 M 点 作 三 个 * 面 分 别 垂 直 于x 轴、y 轴、z 轴,它们与x 轴、y 轴、 z 轴的交点分别 为 P、Q 、R(如图), 设三点在三个坐标轴上的坐标 依次为 x ,y ,z ,于是空间一 点 M 就唯一地确定了一个有序 数组 ( x, y, z) ,通过直角坐标 系,就建立了空间点 M 与有序 数组 (x, y, z) 之间的一一对应 关系 z R p x M Qy 前页 后页 结束 1 空间两点间的距离 设 M1(x1, y1, z1),M 2 (x2, y2, z2 ) 为空间两点, 选取坐标系如图。则空间两点间的距离公式为: M1M 2 ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ? (z2 ? z1)2 特别地,点M (x, y, z) 到坐标原点 O(0,0,0)的距离为 : OM ? x2 ? y2 ? z2 z z z2 z1 M2 M M1 y1 y2 x1 y y x2 x x 前页 后页 结束 7.1.1.2 空间的*面和直线的一般方程 由于空间中任一*面都可以用一个三元一次方程 来表示,而任一三元一次方程的图形都是一个*面, 所以称如下的三元一次方程为空间中*面的一般方 程。 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 由于空间直线可以看作是两 个*面的交线,因此空间中两个 *面的方程联立而成的方程组: Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ? A1x ? B1 y ? C1z ? D1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0 叫做空间直线的一般方程。 A2 x ? B2 y ? C2z ? D2 ? 0 前页 后页 结束 7.1.1.3 空间曲面和空间曲线的一般方程 1.曲面的方程 在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹 F(x, y, z) ? 0 曲面上任一点的坐标都满 足方程,不在曲面上的点 z F(x, y, z) ? 0 的坐标都不满足方程,则 称此方程为曲面的方程, 而曲面就叫做方程的图形。 (x, y) 前页 后页 结束 2.空间曲线的一般方程 空间曲线可看成是两曲面的交线设 F ( x, y, z) ? 0和 G( x, y, z) ? 0 是两个曲面方程 则方程组 ?F(x, y, z) ? 0 ??G( x, y, z) ? 0 称为空间曲线的一般方程 即曲线上任何一点都要同 时满足两个曲面方程。 F(x, y, z) ? 0 G(x, y,z) ? 0 前页 后页 结束 7.1.2 多元函数的概念 1.引例 例1 矩形面积S与长x,宽y有下列依赖关系 S=xy (x>0,y>0), 其中长x 和宽y 是两个独立的变量,在它们变化范围内, 当x,y 的值取定后,矩形面积S有一个确定值之对应. 例2 Q为某商品的销售量,P 为商品的销售价格,N 为 购买商品的人数为设此种商品的销售量Q 与 P,N 有关系:Q ? a ? bP ? cN (a ? 0 , b ? 0) 其中,a, b ,c 均为正常数 前页 后页 结束 2.二元函数的定义 定义1 设有三个变量x,y,z,如果对于变量x,y的 变化范围内所取的每一对值,变量z都按照一定的规则, 有一个确定的值与之对应,则称z 为x,y的二元函数, 记作 z=f(x,y) 或 z=z(x,y), 其中x,y称为自变量,z称为函数(或因变量).自变量x, y的变化范围称为函数的定义域. 前页 后页 结束 类似地,可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以 上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数. 与一元函数一样,定义域和对应法则是二元函数的 两个要素。 函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求 函数的定义域,就是求出使函数有定义的所有自变量 的取值范围. 前页 后页 结束 例3 求出二元函数 z ? 1? x2 ? y2 的定义域. 解 自变量x,y必须满足不等式 x2 ? y2 ? 1, 此即函数定义域. 例4 求函数z=ln(x+y)的定义域. 解 函数的定义域为 x+y>0. 即 x? y 前页 后页 结束 例5 求函数 z ? arcsin x ? arcsin y 的定义域(a>0,b>0). a b 解 函数的定义域由不等式组 | x |? a,| y |? b 即 ? a ? x ? a, ? b ? y ? b 其图形是矩形内部(包括边界). 例6 求函数 z ? 1 1? x2

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